30 行 Python 代码搞定 X 算法

假如你对数独解法感兴趣,你可能听说过精确覆盖问题。给定全集 和 的子集的集合 ,存在一个 Y 的子集 Y*,使得 Y* 构成 X 的一种分割。

这儿有个Python写的例子。

这个例子的唯一解是['B', 'D', 'F']。

精确覆盖问题是NP完备(译注:指没有任何一个够快的方法可以在合理的时间内,意即多项式时间 找到答案)X算法是由大牛高德纳发明并实现。他提出了一种高效的实现技术叫舞蹈链,使用双向链表来表示该问题的矩阵。

然而,舞蹈链实现起来可能相当繁琐,并且不易写地正确。接下来就是展示Python奇迹的时刻了!有天我决定用Python来编写算法,并且我想出了一个有趣的舞蹈链变种。

算法

主要的思路是使用字典来代替双向链表来表示矩阵。我们已经有了 Y。从它那我们能快速的访问每行的列元素。现在我们还需要生成行的反向表,换句话说就是能从列中快速访问行元素。为实现这个目的,我们把X转换为字典。在上述的例子中,它应该写为

眼尖的读者能注意到这跟Y的表示有轻微的不同。事实上,我们需要能快速删除和添加行到每列,这就是为什么我们使用集合。另一方面,高德纳没有提到这点,实际上整个算法中所有行是保持不变的。

以下是算法的代码。

真的只有 30 行!

格式化输入

在解决实际问题前,我们需要将输入转换为上面描述的格式。可以这样简单处理

但这样太慢了。假如设 X 大小为 m,Y 的大小为 n,则迭代次数为 m*n。在这例子中的数独格子大小为 N,那需要 N^5 次。我们有更好的办法。

这还是 O(m*n) 的复杂度,但是是最坏情况。平均情况下它的性能会好很多,因为它不需要遍历所有的空格位。在数独的例子中,矩阵中每行恰好有 4 个条目,无论大小,因此它有N^3的复杂度。

优点

  • 简单: 不需要构造复杂的数据结构,所有用到的结构Python都有提供。
  • 可读性: 上述第一个例子是直接从Wikipedia上的范例直接转录下来的!
  • 灵活性: 可以很简单得扩展来解决数独。

求解数独

我们需要做的就是把数独描述成精确覆盖问题。这里有完整的数独解法代码,它能处理任意大小,3×3,5×5,即使是2×3,所有代码少于100行,并包含doctest!(感谢Winfried Plappert 和 David Goodger的评论和建议)

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关于作者:威士忌

前算法爱好者,现游戏从业者。(新浪微博:@棍子WisKey 个人网站) 个人主页 · 我的文章 · 11

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最新评论
  • ervin   2014/07/23

    给定全集 X 和 X 的子集 Y ,存在一个 Y 的子集 Y*,使得 Y* 构成 X 的一种分割。

    应该是:
    给定全集 X 和 X 的子集的集合Y ,存在一个 Y 的子集 Y*,使得 Y* 构成 X 的一种分割。

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