【机器学习算法实现】logistic回归__基于Python和Numpy函数库

【机器学习算法实现】系列文章将记录个人阅读机器学习论文、书籍过程中所碰到的算法,每篇文章描述一个具体的算法、算法的编程实现、算法的具体应用实例。争取每个算法都用多种语言编程实现。所有代码共享至github:https://github.com/wepe/MachineLearning-Demo     欢迎交流指正!

1、算法简介

本文的重点放在算法的工程实现上,关于算法的原理不具体展开,logistic回归算法很简单,可以看看Andrew Ng的视频:https://class.coursera.org/ml-007,也可以看看一些写得比较好的博文:洞庭之子的博文。下面我只列出一些个人认为重要的点。

回归的概念:假设有一些数据点,我们用一条直线对这些点进行拟合,这个拟合过程就称作回归。

logistic回归算法之所以称作“logistic”,是因为它运用了logistic函数,即sigmoid函数

logistic回归算法一般用于二分类问题(当然也可以多类别,后面会讲)。

logistic回归的算法思想:


用上面的图来分析,每个O或X代表一个特征向量,这里是二维的,可以写成x=(x1,x2)。

用logistic回归进行分类的主要思想就是根据现有数据集,对分类边界建立回归公式,拿上面这个图来说,就是根据这些OOXX,找出那条直线的公式:Θ0*x0+Θ1*x1+Θ2*x2=Θ0+Θ1*x1+Θ2*x2=0  (x0=1)。

因为上图是二维的,所以参数Θ=(Θ0,Θ1, Θ2),分类边界就由这个(Θ0,Θ1, Θ2)确定,对于更高维的情况也是一样的,所以无论二维三维更高维,分类边界可以统一表示成f(x)=ΘT*x  (ΘT表示Θ的转置)。

对于分类边界上的点,代入分类边界函数就得到f(x)=0,同样地,对于分类边界之上的点,代入得到f(x)>0,对于分类边界之下的点,代入得到f(x)f(x)大于0或者小于0来分类了。

logistic回归的最后一步就是将f(x)作为输入,代入Sigmoid函数,当f(x)>0时,sigmoid函数的输出就大0.5,且随着f(x)趋于正无穷,sigmoid函数的输出趋于1。当f(x)0时,sigmoid函数的输出就小于0.5,且随着f(x)趋于负无穷,sigmoid函数的输出趋于0。

所以我们要寻找出最佳参数Θ,使得对于1类别的点x,f(x)趋于正无穷,对于0类别的点x,f(x)趋于负无穷(实际编程中不可能正/负无穷,只要足够大/小即可)。

总结一下思绪,logistic回归的任务就是要找到最佳的拟合参数。下图的g(z)即sigmoid函数,跟我上面讲的一样,将f(x)=ΘT*x作为g(z)的输入。

以上就是logistic回归的思想,重点在于怎么根据训练数据求得最佳拟合参数Θ?这可以用最优化算法来求解,比如常用的梯度上升算法,关于梯度上升算法这里也不展开,同样可以参考上面推荐的博文。

所谓的梯度,就是函数变化最快的方向,我们一开始先将参数Θ设为全1,然后在算法迭代的每一步里计算梯度,沿着梯度的方向移动,以此来改变参数Θ,直到Θ的拟合效果达到要求值或者迭代步数达到设定值。Θ的更新公式:

alpha是步长,一系列推导后:

这个公式也是下面写代码所用到的。

后话:理解logistic回归之后可以发现,其实它的本质是线性回归,得到ΘT*x的过程跟线性回归是一样的,只不过后面又将ΘT*x作为logistic函数的输入,然后再判断类别。

2、工程实例

 logistic回归一般用于二分类问题,比如判断一封邮件是否为垃圾邮件,判断照片中的人是男是女,预测一场比赛输还是赢……当然也可以用于多分类问题,比如k类别,就进行k次logistic回归。

我的前一篇文章:kNN算法__手写识别 讲到用kNN算法识别数字0~9,这是个十类别问题,如果要用logistic回归,

得做10次logistic回归,第一次将0作为一个类别,1~9作为另外一个类别,这样就可以识别出0或非0。同样地可以将1作为一个类别,0、2~9作为一个类别,这样就可以识别出1或非1……..

本文的实例同样是识别数字,但为了简化,我只选出0和1的样本,这是个二分类问题。下面开始介绍实现过程:

(1)工程文件说明

在我的工程文件目录下,有训练样本集train和测试样本集test,源代码文件命名为logistic regression.py

训练样本集train和测试样本集test里面只有0和1样本:

 logistic regression.py实现的功能:从train里面读取训练数据,然后用梯度上升算法训练出参数Θ,接着用参数Θ来预测test里面的测试样本,同时计算错误率。

(2)源代码解释

 loadData(direction)函数

实现的功能就是从文件夹里面读取所有训练样本,每个样本(比如0_175.txt)里有32*32的数据,程序将32*32的数据整理成1*1024的向量,这样从每个txt文件可以得到一个1*1024的特征向量X,而其类别可以从文件名“0_175.txt”里截取0出来。因此,从train文件夹我们可以获得一个训练矩阵m*1024和一个类别向量m*1,m是样本个数。

代码里面用到python os模块里的listdir(),用于从文件夹里读取所有文件,返回的是列表。
python里的open()函数用于打开文件,之后用readline()一行行读取
  • sigmoid(inX)函数

  • gradAscent(dataArray,labelArray,alpha,maxCycles)函数

用梯度下降法计算得到回归系数,alpha是步长,maxCycles是迭代步数。

用到numpy里面的mat,矩阵类型。shape()用于获取矩阵的大小。

这个函数返回参数向量Θ,即权重weigh

  • classfy(testdir,weigh)函数

分类函数,根据参数weigh对测试样本进行预测,同时计算错误率

  • digitRecognition(trainDir,testDir,alpha=0.07,maxCycles=10)函数

整合上面的所有函数,调用这个函数进行数字识别,alpha和maxCycles有默认形参,这个可以根据实际情况更改。

用loadData函数从train里面读取训练数据,接着根据这些数据,用gradAscent函数得出参数weigh,最后就可以用拟合参数weigh来分类了。

3、试验结果

工程文件可以到这里下载:github地址

运行logistic regression.py,采用默认形参:alpha=0.07,maxCycles=10,看下效果,错误率0.0118

改变形参,alpah=0.01,maxCycles=50,看下效果,错误率0.0471

这两个参数可以根据实际情况调整

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